4.1 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE.
Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes longitudinales se llaman vigas. En general, las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes. A menudo se clasifican según el modo en que están soportadas. Por ejemplo, una viga simplemente apoyada está soportada por un pasador en un extremo y por un rodillo en el otro, figura 1A, una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro, figura 1B, y una viga con coladizo tiene uno o ambos extremos libres situados más allá de los soportes, figura 1C, Las vigas pueden considerarse entere los elementos estructurales más importantes. Como ejemplos se cuentan los miembros usados para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano. También el eje de un automóvil, la pluma de una grúa e incluso muchos de los huesos del cuerpo humano funcionan como vigas.
Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento flexionante internos que, en general, varían de punto a punto a lo largo del eje de la viga. Se necesita primero determinar la fuerza cortante máxima y el momento flexionante máximo en la viga. Una manera de hacerlo es expresar V y M como funciones de la posición x a lo largo del eje de la viga. Esas funciones de fuerza cortante y momento flexionante pueden trazarse y representarse por medio de gráficas llamadas diagramas de cortante y momento. Los valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas gráficas.
Además, como los diagramas de cortante y momento dan información detallada sobre la variación de la fuerza cortante y del momento flexionante a lo largo del eje de la viga, son usados por los ingenieros para decidir dónde colocar la viga en varios puntos a lo largo de su longitud.
Usaremos el método de las secciones para determinar la fuerza cortante V y el momento flexionante M en un punto específico. Sin embargo, si tenemos que determinar V y M como funciones de x a lo largo de una viga, entonces es necesario localizar la sección imaginaria o corte a una distancia x arbitraria desde el extremo de la viga y calcula V y M en términos de x. Respecto a esto, la selección del origen y de la dirección positiva para cualquier x seleccionada es arbitraria. Con frecuencia, el origen se localiza en el extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva se toma hacia la derecha.
En general. Las funciones de fuerza cortante y momento flexionate internos obtenidas en función de x serán descontinuas, o bien sus pendientes serán discontinuas en puntos en que una carga distribuida cambia o donde fuerzas o momentos concentrados son aplicados. Debido a esto , las funciones de cortante y momento deben determinarse para cada región de la viga localizada entre dos discontinuidades calesquiera de carga. Por ejemplo, tendrán que usarse las coordenadas x1,, x2 y x3 para describir la variación de V y M a lo largo de la viga en la figura 2A. Esas coordenadas serán válidas sólo dentro de las regiones de A a B ´para x1, de B a C para x2 y de C a D para x3. Aunque cada una de esas descripciones coordenadas tiene el mismo origen, esto no tiene que ser siempre el caso. Antes bien, es más fácil expresar V y M como funciones de x1, x2 y x3 con orígenes en A, C y D, como se muestra en la figura 2B. Aquí x1 es positiva hacia la derecha y x2, y x3 son positivas hacia la izquierda.
Convención de signos para vigas. Antes de presentar un método para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante como funciones de x y luego trazar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y momento flexionante), es necesario primero establecer una convención de signos que nos permita definir fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos positivos y negativos. Esto es
análogo a la asignación de direcciones coordenadas x positiva hacia la derecha y y positiva hacia arriba al graficar una función y=f(x). Aunque la selección de una convención de signos es arbitraria. Usaremos aquí la frecuentemente usada en la práctica ingenieril y mostrada en la figura 3. Las direcciones positivas requieren que la carga distribuida actúe hacia abajo sobre la viga, que la fuerza cortante interna genere una rotación horaria del segmento de viga sobre el cual actúa y que el momento interno genere compresión en las fibras superiores del segmento.
PROCEDIMIENTO DE ANALISIS.
El siguiente procedimiento constituye un método para determinar las funciones de fuerza cortante y momento flexionante y para trazar los diagramas correspondientes para una viga.
Reacciones en los soportes. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la viga y determine todas las reacciones en los soportes. Descomponga las fuerzas en componentes que actúen perpendicular y paralelamente al eje de la viga.
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. Seleccione coordenadas de la posición x tales que cada coordenada se extienda sobre una región de la viga localizada entre fuerzas concentradas, momentos concentrados, o discontinuidades de la carga distribuida. El origen de cada coordenada puede fijarse en cualquier punto conveniente, pero por lo regular se fija en el extremo izquierdo de la viga. Seccione la viga perpendicularmente a su eje en cada posición x y dibuje el diagrama de cuerpo libre de uno de los dos segmentos. Asegúrese de que V y M se muestran actuando en sus sentidos positivos, de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 3. Use la ecuación de equilibrio =0 para determinar V en función de x. El momento interno M en función de x se obtiene sumando momentos, =0, respecto a la sección cortada de la viga.
Una vez obtenidos, los resultados para V y M pueden verificarse usando los resultados de la ecuación 2, V=dM/dx y –w=dV/dx.
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Trace la función de fuerza cortante (V versus x) y de momento flexionante (M versus, x). Si los valores numéricos de las funciones que describen V y M son positivos, los valores se grafican arriba del eje x, mientras que los valores negativos se grafican por debajo de este eje. Generalmente es conveniente mostrar los diagramas de cortante y momento directamente abajo del diagrama de cuerpo libre de la vida.
EJEMPLO 1
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura 4ª.
SOLUCIÓN
Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes se muestran en la figura 4D.
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. La viga se secciona a una distancia x arbitraria del soporte A, extendiéndose dentro de la región AB, y el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo se muestra en la figura 4B. Las incógnitas V y M se indican actuando en sentido positivo sobre la carga derecha del segmento, de acuerdo con la convención de signos establecida. Aplicando las ecuaciones de equilibrio so obtienen:
+↑∑Fy=0; V=
↓+∑M=0; V= x
En la figura 4C se muestra un diagrama de cuerpo libre para un segmento izquierdo de la viga que se extiende una distancia x dentro de la región BC. Como siempre, V y M se muestran actuando en sentido positivo. Por tanto,
+↑∑Fy=0; -P-V=0
V=-
↓+∑M=0; M + P(x-L/2)-(P/2)x=0
M=P/2(L-x)
El diagrama de fuerza cortante representa una gráfica de las ecuaciones 1 y 3 y el diagrama de momento flexionante representa una gráfica de las ecuaciones 2 y 4, figura 4D. Note que las ecuaciones pueden verificarse, ya que V = dM/dx en cada caso. También –w=dv/dx=0, ya que no hay carga distribuida sobre la viga, ni entre A y B, ni entre B y C.
