4.2 ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS

4.2 ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS

Con objeto de desarrollar algo de comprensión en cuanto al método de aplicar la fórmula del cortante, y también ver algunas de sus limitaciones, estudiaremos ahora las distribuciones del esfuerzo cortante en unos cuantos tipos comunes de secciones transversales de vigas.  Luego presentaremos aplicaciones numéricas de la fórmula del cortante en los ejemplos siguiente.

Sección transversal rectangular.  Consideremos que la viga tiene una sección transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra en la figura 5A.  La distribución del esfuerzo cortante a través de la sección transversal puede determinarse calculando el esfuerzo cortante en una altura arbitraria y medida desde el eje neutro, figura 5B, y luego graficando esta función.  El área con sombra oscura A´ se usará aquí para calcular r. Entonces,

                        Q=ӯ´A´=[y+

                                   =

Aplicando la fórmula del cortante, tenemos

              

Este resultado indica que la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal es parabólica.  Como se muestra en la figura 5C, la intensidad varía entre cero en la parte superior y el fondo, y=±h/2, y un valor máximo al nivel del eje neutro, y=0. Específicamente, puesto que el área de la sección transversal es A=bh, tenemos entonces en y=0, de la ecuación 4.

                        r_max=1.5

Este mismo resultado para r_max puede obtenerse directamente con la fórmula del cortante r=VQ/It, observando que r_max se presenta donde Q es máxima, ya que V, I y t son constantes.  Por inspección,             Q será un máximo cuando se considere toda el área arriba (o abajo) deleje neutro; esto es, A´=bh/2 y y´=h/4. Asi,

      

                  r_max = =1.5

 

Por  comparación, r_max es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio determinado con la ecuación 7; es decir r_prom=V/A.

Es importante recordar que para toda r que actúa sobre la sección transversal en la figura 5C, se tiene un correspondiente r actuando en la dirección longitudinal a lo largo de la viga.  Por ejemplo, si la viga es seccionada por un plano longitudinal a través de su eje neutro, entonces, como se indicó arriba, el esfuerzo cortante máximo actúa sobre este plano, figura 5D.  Este es el esfuerzo que ocasiona que una viga de madera falle según se muestra en la figura 6.  Aquí la rajadura horizontal de la madera comienza al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que las reacciones verticales someten a la viga a grandes esfuerzos cortantes y la madera tiene una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que están orientadas en dirección longitudinal. 

Es instructivo mostrar que cuando la distribución del esfuerzo cortante, ecuación 4, se integra sobre toda la sección transversal, se obtiene la fuerza cortante resultante V.  Para hacer esto, se escoge una franja diferencial de área dA=b dy, figura 5C, y como r tiene un valor constante sobre esta franja, tenemos:

           

                        = y- _-h/2^h/2

                        = (h)-

Viga de patín ancho. Una viga de patín ancho se compone de dos patines (anchos) y un alma como se muestra en la figura 7ª.  Con un análisis similar al anterior se puede determinar la distribución del esfuerzo cortante que actúa  sobre su sección transversal.   Los resultados se ilustran gráficamente en la figura 7B y 7C.  Como en el caso de la sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente a lo largo del peralte de la viga, ya que la sección puede ser tratada como la sección rectangular, que primero tiene el ancho del patín superior, b, luego el espesor del alma, t_alma, y otra vez el ancho del patín inferior, b.   En particular, adviértase que el esfuerzo cortante variará sólo ligeramente a través del alma, y también, que el esfuerzo cortante experimenta un salto en la unión de patín y alma, puesto que el espesor de la sección transversal cambia en este punto, o en otras palabras, que t en la fórmula del cortante cambia. En comparación, el alma soportará una cantidad significativamente mayor de la fuerza cortante que los patines.  Esto se ilustrará numéricamente en el ejemplo 2.

 

Límites en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante.  Una de las principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la fórmula del cortante es que el esfuerzo cortante está uniformemente distribuido sobre el ancho t de la sección donde se calcula.  Es decir, el esfuerzo cortante promedio se calcula a través  del ancho.  Se puede someter a prueba la exactitud de esta suposición comparándola con un análisis matemático más exacto basado en la teoría de la elasticidad.  A este respecto, si la sección transversal de la viga es rectangular, la distribución real del esfuerzo cortante a través del eje neutro varía como se muestra en la figura 8.  El valor máximo r´_max se presenta en los bordes de la sección transversal, y su magnitud depende de la relación (b/h)(ancho/peralte). para secciones con b/h=2, r´_max es casi un 40% mayor que r_max, figura 8B. El error se vuelve aún mayor a medida que la sección se torna más plana, o a medida que se incrementa la relación b/h. Los errores de esta magnitud son ciertamente intolerables si se utiliza la fórmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante en el patín de una viga del patín ancho, según se indicó antes.

Asimismo, habrá que señalar que la fórmula del cortante no dará resultados precisos cuando se utilice para determinar el esfuerzo cortante en la unión patín-alma de una viga de patín ancho, puesto que éste es un punto de cambio repentino de la sección transversal y, por consiguiente, en este lugar se presenta una concentración de esfuerzo.  Además, las regiones internas de los patines son superficies libres, figura 7B, y, en consecuencia, el esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero.  No obstante, si se aplica la fórmula del cortante para determinar los esfuerzos cortantes en estas superficies, se obtiene un valor de r´ que no es igual a cero, figura 7C.  Afortunadamente, estas limitaciones para la aplicación de la fórmula del cortante a los patines de una viga no son importantes en la práctica de la ingeniería.  Con mucha frecuencia los ingenieros sólo tienen que calcular el esfuerzo cortante máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro, donde la razón b/h (ancho/peralte) es muy pequeña y, por consiguiente, el resultado calculado se aproxima mucho al esfuerzo cortante máximo verdadero tal como antes se explicó.

 

Se puede señalar otra limitación importante en el uso de la fórmula del cortante con respecto a la figura 9ª, la cual muestra una viga de sección transversal irregular o no rectangular.  Si se aplica la fórmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante (promedio) r a lo largo de la línea AB, tendrá la dirección mostrada en la figura 9BVG.  Considérese ahora un elemento del material tomado del punto limítrofe B, de tal modo que una de sus caras se localice en la superficie externa de la viga, figura 9C.  Aquí el esfuerzo cortante calculado r en la cara frontal del elemento se descompone en las componentes, r´y r´´.  Por inspección, la componente r´ debe ser igual a cero, puesto que su componente longitudinal correspondiente r´, que actúa cobre la superficie limítrofe libre de esfuerzo, debe ser cero,  Por consiguiente, para satisfacer esta condición, el esfuerzo cortante que actúa sobre el elemento en la superficie limítrofe deber ser tangente a ésta.  La distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la línea AB tendría entonces la dirección que se muestra en la figura 9D.  Debido a la máxima inclinación de los esfuerzos cortantes en las superficies limítrofes, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en los puntos A y B.  Valores específicos del esfuerzo cortante se deben obtener mediante los ´principios de la teoría de la elasticidad. Sin embargo, advierta que se puede aplicar la fórmula del cortante para obtener el esfuerzo cortante que actúa a través de cada una de las líneas marcadas en la figura 9ª.  Estas líneas intersecan las tangentes a las fronteras de la sección transversal según +ángulos rectos y, como se muestra en la figura 9E, el esfuerzo cortante transversal es vertical y constante a lo largo de cada línea.

Para resumir los puntos anteriores, la fórmula del cortante no da resultados exactos cuando se aplica a miembros de sección transversal corta o plana, o en puntos donde la sección transversal cambia repentinamente.  Tampoco se deberá aplicar a través de una sección que corte el contorno del miembro con un ángulo diferente de 90°.  Más bien, en estos casos se deberá determinar el esfuerzo cortante por medio de métodos más avanzados basados en la teoría de la elasticidad.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS.

Se puede usar la fórmula del cortante para encontrar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal de un miembro prismático recto de material homogéneo y comportamiento elástico-lineal.  Se requiere que la fuerza cortante interna que se origine se dirija a lo largo de un eje de simetría de la sección transversal.  Asimismo, el principio de Saint-Venant exige que se aplique la fórmula del cortante en puntos alejados de cualesquier discontinuidad en la sección transversal y de los puntos de carga concentrada.  Para aplicar la ecuación, se sugiere el siguiente procedimiento.

Fuerza cortante interna.  Seccione el miembro perpendicularmente a su eje en el punto donde se va a determinar el esfuerzo cortante y use  un diagrama de cuerpo libre y una ecuación de equilibrio apropiado a fin de obtener la fuerza cortante interna V en la sección.

Propiedades de la sección.  Determine la posición del eje neutro, que pasa por el centroide de la sección transversal. Luego determine el momento de inercia I de toda la sección respecto al eje neutro.  Pase una sección imaginaria por el punto donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la sección trasversal en dos partes.  Mida el ancho t del área en esta sección respecto al eje neutro.  Pase una sección imaginaria por el punto donde va a determinarse el esfuerzo cortante, cortando la sección transversal en dos partes.  Mida el ancho t del área en esta sección. La porción del área que queda ya sea arriba o debajo de este corte es A´.  Determine Q por integración, Q=  o bien usando Q= A´.  Aquí ӯ´ es la distancia del centroide de A´ es la porción de la sección transversal que está unida al miembro mediante los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 4D.

Esfuerzo cortante.  Usando un conjunto coherente de unidades, sustituya los datos en la fórmula del cortante y calcule el esfuerzo cortante r.

Se sugiere que se establezca la dirección correcta del esfuerzo cortante transversal sobre un elemento de volumen de material localizado en el punto en que se va a calcular el esfuerzo.   

Esto puede hacerse teniendo en cuenta que r actúa sobre la sección transversal en la misma dirección que V.  Con esto se pueden establecer entonces los esfuerzos cortantes correspondientes que actúan en los otros tres planos del elemento.

EJEMPLO 1

La viga mostrada en la figura 10ª está hecha de madera y está sometida a una fuerza cortante interna vertical resultante V=3 kip.

a)determine el esfuerzo cortante en el punto p de la viga

b)calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga.

SOLUCIÓN.

Parte a)

Propiedades de la sección.  El momento de inercia de la sección transversal respecto el eje neutro es:

            I= ³ =41.7 pulg⁴

Se traza una línea horizontal por el punto P y el área parcial A´se muestra sombreada en la figura 10b.  Por consiguiente,.

            Q=ӯ´A´=[0.5pulg + (2 pulg)](2 pulg)(4 pulg)=12 pulg³

Esfuerzo cortante.  La fuerza cortante en la sección es V=3 kip. Aplicando la fórmula del cortante, tenemos:

            rp=

Como rp contribuye al valor de V, actúa hacia abajo en P sobre la sección transversal.  En consecuencia, un elemento de volumen del material en este punto tendrá esfuerzos cortantes actuando sobre él como se muestra en la figura 10c.

Parte (b)

Propiedades de la sección.  El esfuerzo cortante máximo ocurre en el eje neutro, ya que t es constante en toda la sección transversal y Q es máximo para tal caso.  El área A´ sombreada en la figura 10d. Tenemos:

            Q= ӯ´A´=[ ](4 pulg)(2.5 pulg)=12.5 pulg

Esfuerzo cortante.  Aplicando la fórmula del cortante, obtenemos:

            r_max=

note que esto es equivalente a:

            r_max=1.5